Математика

 

Простейшие тригонометрические уравнения

Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего триго- нометрического раздела.

Пусть a некоторое число. Простейшие тригонометрические уравнения это урав- нения следующих видов:

cos x = a,sin x = a,tg x = a,ctg x = a.

 

Решить простейшее тригонометрическое уравнение это значит описать множество зна- чений переменной x, для которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение a.

Решение любого тригонометрического уравнения сводится, как правило, к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений.

Простейшие тригонометрические уравнения мы будем решать с помощью тригонометриче- ской окружности.

 

Уравнение cos x = a

Напомним, что по определению cos x это абсцисса точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x. Этого достаточно для рассмотрения уравнения cos x = a.

Если a > 1 или a < 1, то уравнение cos x = a не имеет решений. В самом деле, косинус не может принимать значений, по модулю превосходящих единицу.

Если же a 6 1, то уравнение cos x = a имеет решения, причём решений будет бесконеч- но много (вспомните предыдущую статью ¾Обратные тригонометрические функции¿: прямая y = a пересекает график функции y = cos x в бесконечном множестве точек). Сейчас мы на- учимся описывать все эти решения.

• cos x = 1.

Нас интересуют точки тригонометрической окружности, которые имеют абсциссу 1. Легко видеть, что имеется лишь одна такая точка:

 

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, 2π, 4π, 4π, 6π, 6π, . . . Все перечисленные углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (то есть нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

x = 2πn, n ∈ Z.

Это и есть множество решений уравнения cos x = 1.

 

• cos x = −1.

На тригонометрической окружности имеется лишь одна точка с абсциссой −1:

 

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, то есть на целое число полных углов. Следовательно, все решения уравнения cos x = −1 записываются формулой:

x = π + 2πn, n ∈ Z.

Заодно вспоминаем первое правило, сформулированное нами в статье ¾Тригонометрическая окружность¿:

для описания множества углов, отвечающих одной точке тригонометрической окруж- ности, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

 

• cos x = 0.

Отмечаем на тригонометрической окружности точки с нулевой абсциссой. Их две:

 

Эти точки образуют диаметральную пару (то есть служат концами диаметра тригонометри- ческой окружности). Все углы, отвечающие точкам диаметральной пары, отличаются друг от друга на целое число углов π (то есть на целое число полуоборотов как в одну, так и в другую сторону).

Соответственно, вспоминаем второе правило из статьи ¾Тригонометрическая окружность¿:

 

для описания множества углов, отвечающих диаметральной паре точек тригономет- рической окружности, нужно взять один угол из этого множества и прибавить πn.

Следовательно, все решения уравнения cos x = 0 описываются формулой:

π

x = 2 + πn, n ∈ Z.

 

• cos x = 1 .

2

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1/2:

 

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

π

x₁ = 3 + 2πn, n ∈ Z.

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

π

x₂ = − 3 + 2πn, n ∈ Z.

Обе серии решений можно описать одной формулой:

π

x = ± 3 + 2πn, n ∈ Z.

Именно так мы и записываем решения уравнения cos x = ¹ .

Нижеследующие уравнения решаются совершенно аналогично. Для каждого уравнения мы приводим лишь рисунок и ответ.

√2

• cos x =.

2

 

 

 

 

π

x = ± 4 + 2πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

√3

• cos x =.

2

 

 

 

 

π

x = ± 6 + 2πn, n ∈ Z.

 

• cos x =1 .

2

 

 

 

 

2π

x = ± 3 + 2πn, n ∈ Z.

 

 

 

√2

• cos x = − 2 .

 

 

 

 

3π

x = ± 4 + 2πn, n ∈ Z.

 

 

 

√3

• cos x = − 2 .

 

 

 

 

5π

x = ± 6 + 2πn, n ∈ Z.

−

 

До сих пор мы рассматривали уравн√ения, в п√равой части которых стояли табличные значе-

 

ния косинуса (а именно, 0, ±1, ±1/2, ±

• cos x = 2 .

3

2/2, ±

3/2). Как быть в иных случаях?

 

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 2/3:

 

Верхняя точка отвечает углу arccos ² (напомним, что значения арккосинуса принадлежат

отрезку [0; π]). Стало быть, решения данного уравнения описываются формулой:

2

x = ± arccos 3 + 2πn, n ∈ Z.

 

• cos x =2 .

3

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой −2/3:

arccos − 2

 

 

− 3

− arccos − 2

 

 

Записываем ответ:

x = ± arccos − 2 + 2πn, n ∈ Z.

 

Напомним, что арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией, поэтому знак минус у аргумента арккосинуса так и оставляем. При желании можно воспользоваться соотно- шением: arccos − 2 = π − arccos ² .

Теперь ясно, как выглядит решение уравнения в общем случае (разумеется, при |a| 6 1).

 

 

 

 

x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.

 

 

Данная формула обобщает все случаи, рассмотренные выше.

 

Уравнение sin x = a

Для рассмотрения уравнения sin x = a достаточно определения синуса: sin x это ордината точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x.

При a > 1 или a < 1 уравнение sin x = a не имеет решений, поскольку синус не может принимать значений, по модулю превосходящих единицу.

Если же a 6 1, то уравнение sin x = a имеет бесконечно много решений (снова вспомните статью ¾Обратные тригонометрические функции¿: прямая y = a пересекает график функции y = sin x в бесконечном множестве точек).

Мы начинаем с уравнений, в правой части которых стоит табличное значение синуса.

 

• sin x = 1.

На тригонометрической окружности имеется единственная точка с ординатой 1:

 

 

 

 

 

π

x = 2 + 2πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

• sin x = −1.

 

 

 

π

x = − 2 + 2πn, n ∈ Z.

 

 

• sin x = 0.

На тригонометрической окружности имеются две точки с нулевой ординатой:

 

Решения данного уравнения описываются простой формулой:

x = πn, n ∈ Z.

• sin x = 1 .

2

Возникает горизонтальная пара точек с ординатой 1/2:

 

Правой точке соответствуют углы:

x₁ =

π

6 + 2πn, n ∈ Z.

 

Левой точке соответствуют углы:

 

x₂ =

 

5π

6 + 2πn, n ∈ Z.

 

Обе серии решений x₁ и x₂ можно записать в виде совокупности:

 

 

 x =

6

5π

6 + 2πn, n ∈ Z.

 

Оказывается, существует одна-единственная формула, объединяющая обе серии. Выглядит

 

она так:

π

x = ( 1)^k

6

+ πk, k ∈ Z.

 

Давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

x = (−1)²ⁿ π + π · 2n = π + 2πn.

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

x = (−1)²ⁿ⁺¹ π + π(2n + 1) = −π + 2πn + π = 5π + 2πn.

666

Это вторая серия x₂.

В качестве множителя при ( 1)^k обычно ставится правая точка, в данном случае π/6.

Нижеследующие уравнения решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

√2

 

• sin x =.

2

 x = π + 2πn,

 

 x =

4

3π

4 + 2πn, n ∈ Z;

 

 

 

 

√3

• sin x =.

2

x = (−1)^k π + πk, k ∈ Z.

 

 x =



π

+ 2πn,

3

 

 

x = (−1)^k π + πk, k ∈ Z.

 

• sin x =1 .

2

 x = −π + 2πn,

6

5π

x = − 6 + 2πn, n ∈ Z;

π

 

 

√2

• sin x = − 2 .

x = ( 1)^k+1

6

+ πk, k ∈ Z.

 

 

 

4

3π

x = − 4 + 2πn, n ∈ Z;

π

 

 

√3

• sin x = − 2 .

x = ( 1)^k+1

4

+ πk, k ∈ Z.

 

 

 

3

2π

x = − 3 + 2πn, n ∈ Z;

 

x = (−1)^k+1 π + πk, k ∈ Z.

 

Теперь перейдём к уравнениям с нетабличным значением синуса в правой части.

• sin x = 2 .

3

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой 2/3:

 

 

 

π − arcsin 2

arcsin 2

2

3

 

Правая точка отвечает углу arcsin ² (напомним, что значения арксинуса принадлежат от-

резку −π ; ^π3

Записываем решения данного уравнения в виде совокупности:

 x = arcsin 2 + 2πn,

32

 

 

Объединяющая формула:

 

 

• sin x =2 .

3

x = π − arcsin 3 + 2πn, n ∈ Z.

 

x = (−1)^k arcsin 2 + πk, k ∈ Z.

 

Смотрите рисунок и формулы. Вам уже не составит труда разобраться в этой ситуации. Мы воспользовались здесь нечётностью аркинуса.

 

 x = − arcsin 2 + 2πn,

 

 

 

− 3

π + arcsin 2

arcsin − 2 = − arcsin 2

3

2

x = π + arcsin 3 + 2πn, n ∈ Z;

x = (−1)^k+1 arcsin 2 + πk, k ∈ Z.

 

 

• sin x = a.

Теперь нам ясно, как выглядят решения в общем случае (разумеется, при |a| 6 1).

 

 

 

π − arcsin a

arcsin a

a

x = arcsin a + 2πn,

x = π − arcsin a + 2πn, n ∈ Z;

x = (−1)^k+1 arcsin a + πk, k ∈ Z.

 

 

Данные формулы обобщают разобранные выше случаи.

 

Уравнение tg x = a

Вспомним, что тангенс может принимать любые значения (область значений функции y = tg x

есть всё множество R). Стало быть, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

1. tg x = 0.

Будучи записано в виде

 

sin x

 

cos x

= 0,

 

данное уравнение равносильно уравнению sin x = 0. Его решения, как мы знаем, имеют вид:

x = πn, n ∈ Z.

 

2. tg x = √3 .

Здесь нам уже понадобится линия тангенсов. Имеем диаметральную пару:

 

 

Пишем ответ:

π

x = 6 + πn, n ∈ Z.

 

 

Нижеследующие уравнения решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

3. tg x = 1.

 

 

 

 

 

 

π

x = 4 + πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

 

 

4. tg x = √3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

x = 3 + πn, n ∈ Z.

 

5. tg x = −√3 .

 

 

 

 

 

 

π

x = − 6 + πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

 

 

 

6. tg x = −1.

 

 

 

 

 

π

x = − 4 + πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

 

 

7. tg x = −√3.

 

 

 

 

 

π

x = − 3 + πn, n ∈ Z.

 

8. tg x = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = arctg 2 + πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. tg x = −2.

 

 

 

 

 

 

 

 

x = − arctg 2 + πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

 

 

 

Здесь мы воспользовались нечётностью арктангенса: arctg(−2) = − arctg 2.

 

Теперь ясно, что мы имеем в общем случае.

• tg x = a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = arctg a + πn, n ∈ Z.

 

 

 

 

Данная формула обобщает случаи, рассмотренные выше.

 

Уравнение ctg x = a

Уравнение ctg x = a можно не рассматривать отдельно, поскольку:

• уравнение ctg x = 0, будучи записано в виде cos x/ sin x = 0, равносильно уравнению

cos x = 0 и потому имеет решения x = ^π + πn (n ∈ Z);

 

• при a 6= 0 уравнение ctg x = a равносильно уравнению tg x = ¹

и потому имеет решения

 

x = arctg ¹ + πn (n ∈ Z).

 

Во всех ответах предполагается, что n ∈ Z.

• Решите уравнение:

Задачи

 

 

а) cos 2x = 1;б) cos 3x = −1;

в) sin x = −1;г) sin 2x = 1;

д) cos x = 0;е) sin 5x = 0.

4

 

• Решите уравнение:

а) cos x − π = 1;б) cos x + π = −1;

в) sin x + π = 1;г) sin x − 3π = −1;

д) sin 2x + π = 0;е) cos x − π = 0.

 

 

 

• Решите уравнение:

а) tg x − π = 1;б) ctg x + π = 1;

в) tg 2x = −1;г) ctg x = −1;

д) tg 3x + π = 0;е) ctg x − π = 0.

 

 

 

• Найдите решения уравнения cos x = 1 , удовлетворяющие условию sin x > 0. 2

 

√2

 

• Найдите решения уравнения cos x =

 

 

• Найдите решения уравнения cos x =

, удовлетворяющие условию sin x < 0.

2

 

√3

, удовлетворяющие условию sin x > 0.

2

 

 

 

• Найдите решения уравнения cos x =1 , удовлетворяющие условию sin x < 0.

2

 

 

 

• Найдите решения уравнения cos x = −

√2

, удовлетворяющие условию sin x > 0.

2

 

 

 

 

• Найдите решения уравнения cos x = −

√3

, удовлетворяющие условию sin x < 0.

2

 

 

 

• Найдите решения уравнения sin x = 1 , удовлетворяющие условию cos x > 0.

2

 

 

• Найдите решения уравнения sin x =

√2

, удовлетворяющие условию cos x < 0.

2

 

 

 

 

• Найдите решения уравнения sin x =

√3

, удовлетворяющие условию cos x > 0.

2

 

 

 

• Найдите решения уравнения sin x =1 , удовлетворяющие условию cos x < 0.

2

 

 

 

• Найдите решения уравнения sin x = −

 

• Найдите решения уравнения sin x = −

√2

, удовлетворяющие условию cos x > 0.

2

 

√3

, удовлетворяющие условию cos x < 0.

2

 

 

 

• Найдите решения уравнения tg x = √3 , удовлетворяющие условию sin x > 0.

 

• Найдите решения уравнения tg x = √3, удовлетворяющие условию cos x < 0.

 

 

 

• Найдите решения уравнения tg x = −√3 , удовлетворяющие условию sin x > 0.
• Найдите решения уравнения tg x = −√3, удовлетворяющие условию cos x < 0.

 

 

• Найдите решения уравнения tg x = √3 , удовлетворяющие условию sin x > 0.

 

 

 

• a) Решите уравнение:

tg x + π = √3.

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π ; 3π

 

• a) Решите уравнение:

π√2

 

sin x − 4= 2 .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 2π; 7π .

 

 

 

 

• a) Решите уравнение:

sin 5x cos 3x − cos 5x sin 3x = 0.

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку − 3π ; −π .

 

 

• a) Решите уравнение:

cos 6x cos 4x + sin 6x sin 4x = −1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π; 4π].

 

 

 

• a) Решите уравнение:

2 cos π − x − 1 = 0.

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 3π ; 3π .

 

 

 

 

• a) Решите уравнение:

2 sin π − x − √3 = 0.

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π; 2π].

 

 

 

• a) Решите уравнение:

π√3

 

sin

2 − x=2 .

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−2π; −π].

 

 

 

• a) Решите уравнение:

 

cos

3π + x= √3 .

 

22

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку − 5π ; −π .

 

• a) Решите уравнение:

1

sin x cos x =.

2

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−3π; −2π].

 

 

 

• a) Решите уравнение:

cos² x − sin² x = − 1 .

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку h π ; 2πi.

 

 

• Решите уравнение:

1√2

а) | sin x| = 2 ;б) | cos x| = 2 .

 

 

 

• Решите уравнение:

а) sin x · √cos x = 0;б) cos x · √− sin x = 0;

в) sin 3x · √tg x = 0;г) cos 3x · √− tg x = 0.

 

 

 

• Решите уравнение:

а) sin x sin 2x = 0б) cos x cos 3x = 0;

в) (tg x − 1) cos 2x = 0;г) cos x tg 2x = 0.

 

 

 

• Решите уравнение:

а) sin x · √16 − x2 = 0;б) cos x · √6x − x2 − 5 = 0.

 

 

 

• (МГУ, ДВИ, 2011 ) Решите уравнение:

(sin x − cos x)² = 2.

 

• (МГУ, химический ф-т, 2008 ) Решите уравнение

cos 2x

1 − √2 sin x = 0.

 

 

• (МГУ, МШЭ, 2006 ) Решите уравнение

sin 3x

 

1 + 2 cos 2x

 

 

= 0.